Если ,
и
, то по доказанному
.(3)
Если , то по условию
(4)
(3), (4)
и, значит, точки и
совпадают. Так как
, то такой вывод справедлив для любой точки
. Следовательно, данное нам отображение
совпадает с проективным отображением
. Теорема доказана.
Следствие. Биекция является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой четверки точек.
Теорема 3.
Пусть – четыре различные прямые пучка П(О), прямая
не проходит через точку
и
– точки пересечения этой прямой с прямыми
. Тогда сложное отношение
не зависит от выбора прямой
(оно называется сложным отношением
четырех названных прямых).
Рис. 2
Доказательство. Проведем еще какую-либо прямую , она пересекается с прямыми
в точках
соответственно (рис 2). Пучок П(О) устанавливает перспективное отображение
по закону:
. Так как это частный случай проективного отображения, то
. Теорема доказана.
Следствие. Биекция :П(
)
П(
) одного пучка на другой является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой упорядоченной четверки прямых.
Как найти сложное отношение четырех точек прямой
, зная их координаты
,
,
,
относительно репера
на плоскости?
Прямая не проходит по крайней мере через одну из точек
. Для определенности будем считать, что
(рис. 3).
Рассмотрим перспективное отображение с помощью пучка прямых П(
). Имеем:
Понятие о воспитании коллектива
Основоположниками теории коллектива являются А. С. Макаренко и Л. С. Выготский. Краеугольным камнем теории коллектива являются следующие 4 положения: 1. Коллектив не является протой суммой, конгломератом отдельных личностей, это особое образование, которое, будучи раз созданным, формирует личности ...
Разработка творческого проекта «Копилка»
Для индивидуальной работы учащихся необходимы более простые проекты, которые в свою очередь должны дать чёткую картину принципа компьютерного моделирования и изготовления изделий на станках с ЧПУ. Рассмотрим вариант проекта – «Копилка» в виде куба. Возьмем самую простую геометрическую фигуру – куб. ...
Загрязнение окружающей среды
Химическая промышленность охватывает большое количество отраслей: производство основного органического синтеза, нефтехимические, коксохимические и другие- производства. Часть из них уже стала самостоятельными отраслями промышленности. Производство кислот, солей, щелочей, некоторых химических элемен ...