Если ,
и
, то по доказанному
.(3)
Если , то по условию
(4)
(3), (4)
и, значит, точки и
совпадают. Так как
, то такой вывод справедлив для любой точки
. Следовательно, данное нам отображение
совпадает с проективным отображением
. Теорема доказана.
Следствие. Биекция является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой четверки точек.
Теорема 3.
Пусть – четыре различные прямые пучка П(О), прямая
не проходит через точку
и
– точки пересечения этой прямой с прямыми
. Тогда сложное отношение
не зависит от выбора прямой
(оно называется сложным отношением
четырех названных прямых).
Рис. 2
Доказательство. Проведем еще какую-либо прямую , она пересекается с прямыми
в точках
соответственно (рис 2). Пучок П(О) устанавливает перспективное отображение
по закону:
. Так как это частный случай проективного отображения, то
. Теорема доказана.
Следствие. Биекция :П(
)
П(
) одного пучка на другой является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой упорядоченной четверки прямых.
Как найти сложное отношение четырех точек прямой
, зная их координаты
,
,
,
относительно репера
на плоскости?
Прямая не проходит по крайней мере через одну из точек
. Для определенности будем считать, что
(рис. 3).
Рассмотрим перспективное отображение с помощью пучка прямых П(
). Имеем:
Возрастные особенности
волевых проявлений у детей младшего школьного возраста
Воля воспитывается в условиях реальной жизни человека, и начинается этот процесс с момента нашего рождения. Как известно, воля проявляется в умении совершать действия или сдерживать их, преодолевая внешние или внутренние препятствия. В младшем школьном возрасте в волевых поступках большую роль игра ...
Истоки подростковой преступности
Недостаток внимания в семье зачастую приводит к печальным последствиям. В наши дни увеличилась преступность среди подростков. В большинстве случаев преступниками становятся дети из неблагополучных семей. Неправильное воспитание, искаженное представление о том, что хорошо, а что плохо, недостаток ро ...
Типы билингвального обучения
Тип БО Цель Язык обучения Вид куррикулума Политичес-кий и социо-культурный контекст (средовый фактор) Аккультурационный Вытесняю-щий Аккультурация, врастание этнических меньшинств Второй (госу-дарственный, официальный, иностранный) Иммерсия, переходная программа Естественная Сох-раня-ющий в домини- ...