Доказательство: ,
. Учитывая, что
получим, что
. Свойство доказано.
20:Сложное отношение точек меняет свое значение на обратное, при перестановке точек внутри одной пары: .
Доказательство: ,
. Свойство доказано.
30:
Если поменять местами точки внутри каждой пары, то сложное отношение не изменится: .
Доказательство: следует из свойства 20. . Свойство доказано.
40:.
Доказательства первого, второго и третьего свойства предложить студентам на самостоятельное изучение.
Замечание. Пусть на прямой заданы точки , тогда
1) тогда и только тогда, когда точки
,
2) тогда и только тогда, когда точки
.
Теоремы о сложном отношении точек и прямых
Теорема 1. При любом проективном преобразовании плоскости сложное отношение четырех точек прямой сохраняется.
Доказательство. Пусть – проективное преобразование плоскости
, прямая
,
; точки
переходят в отображении
в точки
. Как мы знаем, сужение
есть проективное отображение
. Это отображение вполне определяется упорядоченной парой реперов
, где
,
. Если
– координаты точки
в репере
, то эти же координаты имеет точка
в репере
. Но
,
. Теорема доказана.
Следствие. При любом проективном отображении одной прямой на другую сложное отношение четырех точек сохраняется.
Теорема 2.
Если биекция сохраняет сложное отношение любой четверки точек, то
– проективное отображение.
Доказательство. Пусть – различные точки прямой
и
их образы в отображении
. Существует единственной проективное отображение
, которое переводит точки
в точки
соответственно.
Планирование работы по изучению данного раздела
План-конспект урока. Тема урока: Чеканка на смоляной основе (урок 1). Цели урока: Дать знания о правилах составления композиции чеканных изделий, рассказать о различных видах чеканных работ, заложить основу для формирования пространственного мышления. Оборудование и материалы: Карандаши различной т ...
Анализ результатов использования нестандартных уроков
Проверка нашей гипотезы осуществлялась в ходе наблюдения и эксперимента в 5 ''В '' классе СШ №9, г. Солигорска. Целью констатирующего этапа эксперимента ставилось выявление исходного уровня знаний учащихся путем наблюдений и устного опроса. Результаты констатирующего среза и результаты наблюдения п ...
Истоки подростковой преступности
Недостаток внимания в семье зачастую приводит к печальным последствиям. В наши дни увеличилась преступность среди подростков. В большинстве случаев преступниками становятся дети из неблагополучных семей. Неправильное воспитание, искаженное представление о том, что хорошо, а что плохо, недостаток ро ...